חזרה על אלגברה ליניארית (קצת)

חזרה על אלגברה ליניארית

אלגברה ליניארית יכולה להיות מאוד שימושית להרבה נושאים בתחום המדעים המדוייקים. במקרה ולא למדתם את החומר אף פעם (או למדתם ושכחתם), הפוסט הזה נועד כדי להוות חזרה קצרה על הקטעים והמושגים הבסיסיים בנושא:

מטריצה – מערך מלבני של ערכים.

וקטור – מטרציה עם עמודה אחת בלבד.

סקלר – ערך בודד.

מטריצת יחידה – מטריצה בצורת ריבוע, שהאלכסון שלה הוא אחדים והשאר אפסים, מסומן I.

כפל מטריצות – קשה קצת לתפוס את זה במילים, אז נוסיף פה (בעתיד) תמונה. הרעיון הוא כזה – כל מטריצה היא הרי סט של ערכים (וקטורים) בגודל שווה. מה שאנחנו עושים בכפל מטריצות – הוא לקחת כל שורה של המטריצה הראשונה, ואז לכפול אותה בכל אחת מהעמודות של המטריצה השנייה. אם המטריצה הראשונה היא NxM (יעני N שורות, M עמודות), השנייה MxQ (יעני M שורות, Q עמודות), המטריצה שתתקבל תהיה בגודל NxQ – שימו לב שהעמודות של הראשונה חייבות להיות שוות לשורות של השנייה, והגודל הסופי מורכב מהN והQ בהתאמה.

שני מאפיינים חשובים של הכפלת מטריצות: הכפל לא קומוטטיבי (להכפיל את A בB זה לא אותו דבר כמו להכפיל את B בA), כן אסוציאטיבי (אם הכפל הוא A*B*C, לא משנה אם קודם תעשו BC או קודם AB).

מטריצה הפיכה (Inverse) – מטריצה "מתאימה" למטריצה A מרובעת כלשהי, כך שכפל ביניהן ייתן את מטריצת היחידה המתאימה, מסומן A^-1. (לא משנה מאיזו מטריצה מכפילים קודם).

שחלוף (Transpose) – מטריצת "מראה" למטריצה מסוימת, כך שכל אינדקס מתחלף למעשה – ij  הופך לji, מסומן A^T.